Curiosidades Matemáticas

En esta entrada he recopilado algunas curiosidades matemáticas. Pirámides, algún conocido miniproblema y una recopilación de las curiosas propiedades de algunos números. Espero que os guste.

Pirámides

9² = 81
99² = 9801
999² = 998001
9999² = 99980001

Sin necesidad de hacer el cálculo podemos deducir que: 99999² = 999800001, es decir, sólo añadimos otro 9 al comienzo del número e insertamos otro 0 antes del 1 final.
Algo similar ocurre con los cubos de números consistentes de nueves:

9³ = 729
99³ = 970299
999³ = 997002999
9999³ = 999700029999

Es decir, concluimos que: 99999³ = 999970000299999

Seguimos con más:

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10 = 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

Pirámides con Simetria...

2002 x 121 = 242242
2002 x 1221 = 2444442
2002 x 12221 = 24466442
2002 x 122221 = 244686442
2002 x 1222221 = 2446886442

2002 x 1 = 2002
2002 x 11 = 22022
2002 x 101 = 202202
2002 x 1001 = 2004002
2002 x 10001 = 20022002
2002 x 100001 =200202002

Por cierto: 2002 = 44² + 8² + 1² + 1² = 10³ + 10³ + 1³ + 1³ = 6⁴ + 5⁴ + 3⁴

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Más Cosas

1.– Comprueba las igualdades y continúa la secuencia:

2³ - 2 = 1 · 2 · 3
3³ - 3 = 2 · 3 · 4
4³ - 4 = 3 · 4 · 5

¿Funciona siempre?, ¿por qué? Solución Sí, y se debe a que a³ - a = (a-1)·a·(a+1)

2.– Si separamos los números que siguen a continuación en dos partes y hallamos el cuadrado del binomio que forman, obtenemos de nuevo el número inicial:

3025-------(30 + 25)² = 3025
9801-------(98 + 01)² = 9801
2025-------(20 + 25)² = 2025

Hay parejas de números para las que la norma regia de "tanto monta, monta tanto....", es aplicada a rajatabla. Y así, su producto no se altera aunque se cambie el orden de sus cifras. Existiendo un montón de éstos, yo solo os pongo algunos ejemplos:

24 x 63 = 42 x 36 ...........................12 x 42 = 21 x 24
34 x 86 = 43 x 68 ...........................24 x 48 = 42 x 84
36 x 84 = 63 x 48 ...........................23 x 64 = 32 x 46
12 x 63 = 21 x 36............................23 x 96 = 32 x 69
13 x 62 = 31 x 26 ...........................26 x 93 = 62 x 39

3.– La Anécdota de Gauss: Tenía Gauss 10 años cuando un día en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad… pero transcurridos pocos segundos Gauss levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente es así. ¿Cómo lo hizo Gauss? Solución No es que Gauss fuera un calculador extraordinario, capaz de hacer sumas a la velocidad de un ordenador moderno. Gauss llegaría a ser uno de los mejores matemáticos de la historia (véase su biografía), y los matemáticos no calculan, piensan! Lo que hizo Gauss fue lo siguiente:

Tenía que sumar los siguientes números:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+.....................................+95+96+97+98+99+100

Pero nadie le obligaba a sumarlos por orden. Gauss se percató de un hecho singular: si agrupaba los números por parejas, tomando el primero y el último, el segundo y el penúltimo, etc., tenía lo siguiente:

(1+100)=101; (2+99)=101; (3+98)=101; (4+97)=101; etc.

Es decir, todos los pares de números sumaban 101. Como entre el uno y el 100 podía hacer 50 pares con esa propiedad, 50 X 101 = 5050.

Más tarde, aplicaría este mismo principio para hallar la suma de la serie geométrica y muchas otras series.

4.– Por último vamos a echar un vistazo las curiosidades de algún número en particular (estaría genial que aportárais vosotros también las que os sepáis, yo aquí solamente expongo algunas).

Veamos algunas curiosidades del 9:

• Si se suman todos los números de nuestro sistema numérico 1+2+3+4+5+6+7+8+9 obtenemos el 45. Reducido el 45 aun número de una sola cifra, obtenemos 4+5=9

• Tras reducir a una sola cifra el resultado del producto del 9 por cualquiera de sus múltiplos, siempre se vuelve a obtener el 9. Por ej: 9x1=9, 9x2=18, 1+8=9, 9x3=27, 2+7=9, etc.

• Un "Gran Año Sideral" o período de tiempo que ha de pasar para que los planetas que circulan alrededor del Sol vuelvan a estar exactamente en la misma posición relativa el uno con el otro, equivale a 25.920 años. Estas cifras sumadas dan 2+5+9+2+0=18, que reducido, es el número 9.

Este Año Sideral está estrechamente relacionado con la "Precesión de los Equinoccios" o tiempo requerido para que todos los planetas vuelvan a sus posiciones originales y a la misma relación entre los unos y los otros. Se requieren 72 años para completar 1 grado de esta Precesión Equinoccial (7+2=9). Y cualquiera de las cantidades de ésta equivale a 9.
Por ej. 2 grados son 144 años, que reducidos a un número de una sola cifra equivale al 9; 3 grados son 216 años, otra vez reducidos es 9; 5 grados 360 años, reducidos dan 9 y así sucesivamente.

• En cada día hay 86.400 segundos que reducidos suman 18, 1+8=9

• Un círculo tiene 360 grados, 3+6= 9

• El ritmo normal de respiración para el ser humano medio es de 18 veces por minuto 1+8=9

• El ritmo cardíaco medio es de 72 latidos por minuto, 7+2=9

• La cantidad de latidos por hora suma 4.320 , 4+3+2+0= 9

• En 24 hrs. tu corazón late un promedio de 103.680 veces , 1+0+3+6+8+0=18=> 1+8=9

• En ese mismo período respiras como promedio 25.920 veces, es decir la misma cifra que un Gran Año Sideral.

• El período de gestación del ser humano tiene una duración normal de 9 meses.

Algunas del número 23:

• El nº primo más pequeño cuyo reverso es una potencia: 32 = 25.

• 23 es el primo más pequeño para el que la suma de los cuadrados de sus dígitos es también un primo impar.

• 23 es el único primo de la forma p*q + p + q y p*q – p – q, donde p y q son dos primos sucesivos (3*5 + 3 + 5 = 5*7 – 5 – 7 = 23).

• 23 = 5 + 7 + 11. ¿Ves los cinco primeros primos consecutivos?

• 23 es el número primo más pequeño con dígitos consecutivos.

• Los primos hasta el 23 y los cuadrados de los primos hasta el 23, separados por ceros forman primos.

• 11111111111111111111111 (23 unos) es un primo repunit

• 23 = 3 veces el tercer primo + dos veces el segundo primo + una vez el primer primo.

• 2! + 3! = 23

• 23 = 1! + (2! + 2!) + (3! + 3! + 3!)

• El homo sapiens tiene 23 pares de cromosomas.

• Existen 23 discos en la columna vertebral humana.

• El 23 de octubre es el día del Mol. Los químicos lo celebran desde las 6:02 A.M. hasta las 6:02 P.M. cada 23/10 en honor al número de Avogadro

Y para terminar por hoy, del 153:

• Es el número más pequeño que puede ser expresado como la suma de los cubos de sus dígitos: 153 = 1³ + 5³ + 3³

• Es igual a la suma de los factoriales de los números del 1 al 5: 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5!

• La suma de sus dígitos es un cuadrado perfecto: 1 + 5 + 3 = 9 = 3²

• La suma de sus divisores (excluyendo al propio número) también es un cuadrado perfecto: 1 + 3 + 9 + 17 + 51 = 81 = 9²

• Dando la vuelta a las cifras de 153 obtenemos el 351. Si los sumamos obtenemos 504, que cumple que su cuadrado es el número más pequeño que puede ser expresado como el producto de dos números diferentes cuyas cifras están invertidas: 153 + 351 = 504
5042 = 288 · 882

• Puede ser expresado como la suma de todos los números enteros del 1 al 17: 153 = 1 + 2 + 3 + 4 +…+ 15 + 16 + 17
Esto significa que 153 es el decimoséptimo número triangular. Como su inverso, 351, también es un número triangular (suma del 1 hasta el 26) podemos decir que 153 es un número triangular invertible.

• Es un número de Harshad (o número de Niven), es decir, es divisible por la suma de sus dígitos: 153/(1 + 5 + 3) = 17

Como 351 también es un número de Harshad podemos decir que 153 es un número de Harshad invertible.

• Puede ser expresado como el producto de dos números formados por sus dígitos: 153 = 3 · 51

• El número 135, formado por una recolocación de los dígitos de 153, puede ser expresado de esta curiosa forma:
135 = 11 + 32 + 53

• La suma de todos los divisores de 153 es 234:
1 + 3 + 9 + 17 + 51 + 153 = 234
El producto de todos los divisores de 153 excepto el propio número es 23409:
1 · 3 · 9 · 17 · 51 = 23409
Y vemos que 23409 está formado por 234, que es la suma de todos los divisores de 153, y por 09, que es la raíz cuadrada de la suma de todos los divisores de 153 excepto el propio número.

En fin, no son novedades lo que aquí expongo, pero un poquito de cultura y curiosidad matematica para recordar el colegio o la facultad que a algunos nos van quedando cada vez más lejos, supongo que nunca viene mal.

Entradas relacionadas:
Las Matemáticas en el Cine
Los Enigmas de "La Habitación de Fermat"